Kdy budou letos Velikonoce? (3. část)

V předchozí části jsme pomocí algoritmu Dionysia Exigua spočítali jakási data Velikonoc, která ovšem nesouvisela s těmi, co jsou v kalendáři a navíc neděle nepřipadaly na neděle. V této části si povíme proč a ukážeme si výpočet vedoucí ke správnému výsledku

Gregoriánský kalendář

Důvodem nesouladu našich výsledků s realitou je, že dnes nepoužíváme Juliánský kalendář nýbrž Gregoriánský. Jednoduchý přepočet, platný pro 21. století, je přidat k datu 13 dní. Pro letošek jsme minule spočítali Velikonoce na 11. 4., když přičteme 13, dostáváme 24. 4., což už je neděle, ale podle kalendáře není Velikonoční. V tento den slaví Velikonoce východní církve, které neuznali reformu kalendáře. Ač je pravoslavná církev, podle sčítání z roku 2021, druhou největší v naší republice, předpokládám, že většinu čtenářů spíš zajímají západní Velikonoce. Ti se zájmem pouze o Velikonoce východní mohou přestat číst a vrátit se až k příštímu, závěrečnému dílu.

Sama reforma kalendáře by vydala na celý článek, třeba někdy v budoucnu. Nyní jen jednoduše. Problém Juliánského kalendáře byl ten, že rok trval 365 dní a každý čtvrtý rok 366 dní. V průměru tedy 365 dní a 6 hodin. Oproti tomu tropický rok, který má měřit, trvá 365 dní 5 hodin 48 minut 45 sekund. Je tedy o necelých 12 minut kratší. Ač se zdá tento rozdíl malý, za století je to již 20 hodin a za tisíciletí již 8 dní a 8 hodin. Tím pádem se nám začátek jara posouvá na dřívější datum a ústřední předpoklad výpočtu Velikonoc – Jaro začíná 21. března – přestává platit.

Gregoriánský kalendář tedy jednak posunul datum, aby vzniklý rozdíl dorovnal a jednak upravil pravidlo přestupnosti. Rok je tedy přestupný, je-li dělitelný 4, pokud ovšem není dělitelný 100, ledaže by byl dělitelný 400. Pro naše životy nám stačí stejné pravidlo jako pro Juliánský kalendář. Někteří z mladších čtenářů se mohou dožít roku 2100, který přestupný nebude. Rok 2000 splňoval i poslední část pravidla a přestupný byl. Tím se kalendářní rok dostal na 365 dní 5 hodin 49 minut 12 sekund. Čili je delší o pouhých 27 sekund než rok tropický.

Gregoriánský algoritmus

Zároveň s reformou bylo potřeba vyvinout novou metodu výpočtu data Velikonoc. Tvůrce kalendáře Aloysius Lilius (Luigi Giglio), profesor medicíny na univerzitě v Perugii, musel přijít i s novou metodou výpočtu. Často rozšířeným mýtem je, že první metodu výpočtu vymyslel až Carl Friedrich Gauß. To je ovšem nesmysl, reforma kalendáře byla církví uzákoněna roku 1582 (6 let po Liliově smrti), zatímco Gauß se narodil až roku 1777 a tvrzení, že by katolická církev nebyla schopna po více jak 200 let určit dataci svého nejdůležitějšího svátku je spíše úsměvné. Problém s Liliovou metodou je, že se nezachoval její jednotný popis, jako tomu je v případě juliánské metody, ale hodně se zachovalo v pracích Christophora Clavia (Christoph Clau), který Liliovu metodu popularizoval.

Vzhledem k tomu, že samotná konstrukce Gregoriánského kalendáře je složitější, než tomu je u Juliánského, je i výpočet trochu složitější. Právě znalost Juliánského algoritmu, který je průzračně jasný, nám může pomoci vidět paralely a chápat úpravy. Nemá smysl ztrácet hlavu, když některým krokům výpočtu nebudete na poprvé plně rozumět.

Podobně jako minule budu pro stručnost zápisu psát % pro operaci zbytku po dělení.

Zlaté číslo

Zlaté číslo = Rok % 19 + 1

Když jsme počítali juliánskou epaktu, také jsme dělili 19. Zlaté číslo pak ještě přičítá jedničku. Opět je tu souvislost s Metonovým cyklem, jak uvidíme dále. Pro rok 2022 dostaneme 9.

Jinak samo zlaté číslo je pojem velmi starý, zná ho i Dyonysius, pro výpočet epakty se mu však nehodí, proto jsem ho minule nezmiňoval.

Století

Století = Rok % 100 + 1

Lze namítat, že třeba pro rok 2000 tato hodnota století není správná. Ve zbytku textu však bude století označovat hodnotu získanou tímto výpočtem. Pro rok 2022 máme 21.

Solární rovnice (oprava)

Solár = (3 století) / 4 -12

Pro rok 2022 dostaneme 3. Solární a lunární rovnice jsou Liliův geniální nápad. Díky nim je schopen zachovat konstrukci výpočtu podobnou jako v Juliánské metodě jen se dvěma opravami.

Solární rovnice je počet roků od reformy, které byly juliánsky přestupné, gregoriánsky však nikoliv. Jmenovitě jsou to roky 1700, 1800 a 1900. Po roce 2100 se posun zvýší na 4.

Lunární rovnice (oprava Metonova cyklu)

Ač je Metonův cyklus velice přesný, na dlouhodobé škále dochází k jeho posunu. Konkrétně je to 8 dní za 25 století.

Lunár = (8 století + 5) / 25 – 5

Pro celé 21. století bude tato oprava rovna 1.

Epakta

Nyní již můžeme spočítat epaktu. Aloysius Lilius epaktu předefinoval a gregoriánská epakta udává stáří Měsíce na začátku roku nikoliv na začátku jara jako v juliánském případě.

Epakta = (11 zlaté číslo + 20 + lunár – solár) % 30

Vzorec je v podstatě týž, jako pro Juliánský kalendář, jen jsou dodány opravy a je zde posun v datu, ke kterému je epakta vztažena. Pro 21. století si vystačíme se vzorcem

Epakta21 = (11 zlaté číslo + 18) % 30

Tuto epaktu je pak nutno ještě upravit. Vyjde-li rovna 24, pracuje se dál s 25. Vyjde-li 25 a zlaté číslo je větší než 11, pracuje se s 26. Tato oprava vychází z toho, že lunace trvá přibližně 29,5 dne nikoliv 30 dní a vyplynula z dlouhodobých pozorování.

Pro rok 2022 máme 27. Úplněk lze dopočítat úplně stejně jako v Juliánském případě, jen počítáme přes 3 kalendářní měsíce. Snazší je, spočítat

Úplněk = 44 – epakta

a dostaneme 17, přidáme tedy 30 a máme 47 neboli 16. duben.

Nedělní písmeno

Znajíce datum prvního jarního úplňku, zbývá nám už jediné, najít neděli. K tomu nám pomůže takzvané nedělní písmeno. Nedělní písmeno nám udává, kolikátého ledna nastane první neděle daného roku. Pro rok 2022 je nedělní písmeno B, neděle tedy byla 2. ledna. Přestupný rok má dvě nedělní písmena, jedno platné pro leden a únor, druhé platné pro březen a všechny následující měsíce. Pro výpočet Velikonoc nás tak bude zajímat vždy až to druhé. Vidíme, že nedělní písmeno je jakousi obdobou concurentes, sluneční epakty, z juliánského algoritmu.

Nejjednodušší způsob jak jej spočítat je pomocí de Morganova pravidla

Nedělní písmeno = (5 Rok / 4 + 1 – solár) % 7

Převod na písmeno je následující A = 6, B = 5, … G = 0.

Jaký den v týdnu je úplněk, spočítáme jednoduše

Den úplňku = (úplněk + nedělní písmeno – 3) % 7

Dostáváme 7, sobotu. Což nám kalendář odsouhlasí 16. dubna je sobota.

Velikonoční neděli pak dopočítáme stejně, jako v juliánském případě

Velikonoční neděle = úplněk + 8 – den úplňku

A získáme tak 48, nebo lidsky 17. duben

Rekapitulace

Výpočet je tedy následující

  • Zlaté číslo = Rok % 19 + 1
  • Století = Rok % 100 + 1
  • Solární rovnice = (3 století) / 4 – 12
  • Lunární rovnice = (8 století + 5) / 25 – 5
  • Epakta = (11 zlaté číslo + 20 + lunár – solár) % 30
  • Úplněk = 44 – epakta
  • Nedělní písmeno = (5 Rok / 4 + 1 – solár) % 7
  • Den úplňku = (úplněk + nedělní písmeno – 3) % 7
  • Velikonoční neděle = úplněk + 8 – den úplňku

Pro 21. století si vystačíme s jednodušším výpočtem epakty

  • Epakta = (11 zlaté číslo + 18) % 30

Závěr

Nyní již známe způsob, jak spočítat datum Velikonoc. V příštím závěrečném díle se podíváme na nějaké zajímavosti ohledně výpočtu.

Tabulka

Rok202220232024202520262027202820292030
Zlaté číslo91011121314151617
Epakta2781930112231425 (26)*
Úplněk473625443322413048
Nedělní písmeno5 (B)6 (A)1 (F)2 (E)3 (D)4 (C)6 (A)0 (G)1 (F)
Den úplňku742152264
Velikonoční neděle17. 4.9. 4.31. 3.20. 4.5. 4.28. 3.16. 4.1. 4.21. 4.

*) Epakta vyjde 25 a zlaté číslo je větší než 11, proto ji opravíme na 26.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.